[水]整数拆分积

问题：对于 $n(n\ge 3)$，要求构造拆分 $n=\sum _{i=1}^m{a}_i$，最大化 $\prod a_i$。

最优情况下，满足

1. $n\mathrm{mod}3=0$，$a_i=3$。

2. $n\mathrm{mod}3=2$，$i<m,a_i=3;a_m=2$。

3. $n\mathrm{mod}3=1$，$i<m,a_i=3;a_m=4$ 或 $i<m-1,a_i=3;a_{m-1}=a_m=2$。

容易发现 $a_i=2,a_i=4$ 的都是边界情况，我们只需要分析为何 $a_i=3$ 能够最大化答案。

考虑由高维均值不等式 ${\displaystyle \sqrt[m]{\prod a_i}\le \frac{\sum a_i}{m}}$，${\displaystyle \prod a_i\le (\frac{\sum a_i}{m}{)}^m}$。

故知在 $a_i$ 尽量平均时取到最值，现在只需分析$a_i=x$在何时取到最值。

不妨用一个函数 $g(x)=x^{\frac{n}{x}}$ 来描述问题，

由于上标中的 $n$ 不影响单调性，不妨分析 ${\displaystyle f(x)=g^{\frac{1}{n}}(x)=x^{\frac{1}{x}}}$。

$$\begin{array}{rl}f(x)& =e^{\frac{\ln x}{x}}\\ f^{\prime }(x)& =e^{\frac{\ln x}{x}}\cdot \frac{1-\ln x}{x^2}\end{array}$$

容易发现 $f(x)$ 在 $x_0=e$ 处取极大值。

由于 $x^{\prime }\in \mathbb{Z}$，带入 $f(2)\approx 1.414,f(3)\approx 1.442$。

故取 $a_i=3$。